Juliusz Schauder (1899 - 1943)

Juliusz Paweł Schauder był jednym z najważniejszych, obok Stefana Banacha i Hugona Steinhausa, przedstawicieli lwowskiego środowiska przedwojennej Polskiej Szkoły Matematycznej. Jego praca naukowa dotyczyła w głównej mierze analizy funkcjonalnej, działu matematyki leżącego na pograniczu analizy matematycznej, topologii i algebry, zajmującego się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych i abstrakcyjnych przestrzeni liniowych wyposażonych w strukturę topologiczną. Analiza funkcjonalna rozwinęła się w trakcie badania przekształceń liniowych, zwanych operatorami oraz równań różniczkowych i całkowych. Jej podstawy tworzyli polscy matematycy ze Stefanem Banachem na czele. Badania Schaudera skupiały się przede wszystkim wokół nieliniowej analizy funkcjonalnej (zwanej też dziś analizą nieliniową), gdyż przedmiotem jego zainteresowań były głównie tzw. operatory nieliniowe, tzn. ciągłe (i na ogół nieliniowe) przekształcenia przestrzeni funkcyjnych i abstrakcyjnych przestrzeni Banacha.

Znaczenia i doniosłości dorobku naukowego Juliusza Schaudera nie sposób przecenić. Mimo iż jego aktywność naukowa trwała tylko kilkanaście lat naznaczonych trudnościami materialnymi, a w ostatnich latach życia cierpieniami związanymi z wojną, jego dorobek zawarty w ponad 30 pracach wszedł na stałe do matematyki światowej. Waga i znaczenie wielu wyników uzyskanych przez Juliusza Schaudera ma charakter ponadczasowy i należy do trwałego dorobku naukowego ludzkości.

Badania Schaudera obejmowały zasadniczo cztery działy matematyki, które najczęściej są studiowane niezależnie. Były to: teoria miary i całki, topologia przestrzeni funkcyjnych i abstrakcyjnych przestrzeni Banacha (stanowiąca nieskończenie wymiarowe odniesienie klasycznej topologii przestrzeni euklidesowych, również w aspekcie topologii algebraicznej), teoria eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu i teoria hiperbolicznych równań różniczkowych drugiego rzędu. Mimo tak szerokiego spektrum badań, twórczość Schaudera jest spójna. Zawsze starał się dotrzeć do naturalnego źródła rozważanych problemów i, mimo barier klasyfikujących wiedzę, stosować jednolite metody, często różne od ogólnie przyjętych. Jego niezwykłe zdolności towarzyszyły pięknym cechom charakteru. Był człowiekiem skromnym, pracowitym i dokładnym. Nigdy nie stawiał sam sobie zagadnień, badał raczej te, które narzucają się same i są bliskie zastosowań. Jego podejście do badań charakteryzują jego własne słowa - "nie warto uczyć się twierdzeń; warto uczyć się metod".

Tematem pierwszych prac Schaudera była teoria całki. Rozszerzył i uogólnił tam rezultaty już wcześniej znane; w szczególności dotyczące zastosowań wzoru Stokesa, wyrażającego związki całki powierzchniowej i objętościowej. Już w tych pracach silnie wykorzystuje pojęcia z zupełnie odrębnej gałęzi matematycznej, tzn. topologii. Ciekawostką może być fakt, że ponieważ służba wojskowa opóźniła mu rozpoczęcie studiów, to - aby nadrobić czas - w lecie 1919 roku przestudiował dokładnie Grundzüge der Mengenlehre fundamentalne dzieło Felixa Hausdorffa, jednego z twórców topologii. To właśnie topologia, a dokładniej topologia przestrzeni Banacha, jest dziedziną, w której Schauder osiągnął najwybitniejsze i najlepiej znane wyniki. Szczególnie znane jest twierdzenie Schaudera o punkcie stałym, opublikowane w pracy z 1930 roku.

Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu na następującym przykładzie. Jeśli rozważyć okrąg i przekształcić go w siebie w sposób ciągły, tzn. bez rozrywania, to na ogół każdy punkt zmieni położenie. Tak dzieje się, na przykład, podczas obrotu okręgu o kąt mniejszy niż 360 stopni. Czy takie zjawisko ma również miejsce, gdy przekształcić ograniczony i domknięty odcinek prostej lub koło na płaszczyźnie w siebie? Nie: takie przekształcenia mają zawsze punkt stały, tzn. punkt, który podczas ciągłego przekształcenia nie zmieni położenia. Ta własność przysługuje również ciągłym przekształceniom dowolnego wypukłego, domkniętego i ograniczonego podzbioru skończenie-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jest to (w przypadku odcinka prostej) konsekwencją twierdzenia Bolzano o wartości średniej, a w ogólnym przypadku wynika ze słynnego twierdzenia Brouwera o punkcie stałym (L. E. J. Brouwer był wybitnym topologiem holenderskim) ogłoszonego w 1911 roku. Jednym z najlepiej znanych osiągnięć Stefana Banacha jest twierdzenie o punkcie stałym dla przekształceń zwężających określonych na zupełnych przestrzeniach metrycznych. To słynne twierdzenie orzeka, że punkty stałe posiadają przekształcenia, które ,,ściskają'' przestrzeń. Wiadomo jednak, że na ogół przekształcenia ciągłe zbiorów wypukłych i domkniętych w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nie mają punktów stałych. W 1927 roku (z uzupełnieniami w 1930 roku) Schauder udowodnił, że jeśli f jest przekształceniem takiego zbioru w siebie, które jest zwarte, tzn. ma zwarty obraz (innymi słowy, obraz jest zbiorem ,,prawie'' skończenie wymiarowym), to f posiada punkt stały. Z niezwykłą intuicją potrafił w ten sposób wyabstrahować niezmiernie ważną klasę przekształceń, tzw. przekształceń pełnociągłych, które - co najważniejsze - w sposób naturalny występują w licznych zastosowaniach. W pracy tej także pojawił się pewien bardzo użyteczny lemat o aproksymacji, który jest obecnie jedną z fundamentalnych metod dowodowych, pozwalających na skończenie-wymiarową redukcję problemów w przestrzeniach o wymiarze nieskończonym. Dziś twierdzenie Schaudera, obok twierdzenia Banacha, jest powszechnie używanym narzędziem służącym do uzyskiwania istnienia rozwiązań równań.

Twierdzenie o punkcie stałym było pierwszym krokiem w realizacji programu badań topologii nieskończenie-wymiarowych przestrzeni Banacha i zagadnień wynikających z zastosowań w równaniach cząstkowych. W 1928 roku Schauder udowodnił kolejne uogólnienie twierdzenia Brouwera. Tym razem chodziło o tzw. Gebietsinvarianz, czyli twierdzenie o zachowaniu obszaru, które orzeka o otwartości obrazu zbioru otwartego poprzez wzajemnie jednoznaczne przekształcenie będące pełnociągłym zaburzeniem identyczności (obecnie takie przekształcenia nazywa się przekształceniami Leray-Schaudera). Badania te znalazły kulminację w 1934 roku, gdy Schauder znalazł się w Paryżu i podjął współpracę z Jeanem Leray. Wspólne badania zakończyły się publikacją słynnej pracy Topologie et équations fonctionelles opublikowanej w Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. Metoda badawcza rozwinięta w tej pracy, obecnie znana jako metoda kontynuacji homotopijnej Leray-Schaudera, miała swoje korzenie w badaniach sławnego francuskiego uczonego Henri Poincaré'go. Metodę tę, a raczej jej ideę, można zilustrować następująco. Wyobraźmy sobie, że znaleźliśmy się w południe o godz. 12:00 w ogrodzie zoologicznym przed ogrodzonym terenem zamieszkałym przez tygrysa. Na terenie tym rosną gęste krzaki, które zasłaniają widok i uniemożliwiają zobaczenie zwierzęcia. Na czym opieramy przekonanie, że tygrys znajduje się na tym terenie? Otóż możemy rozumować następująco: my wprawdzie nie widzimy zwierzęcia, lecz (a) na pewno ktoś go rano, powiedzmy o godz. 8:00, widział - np. karmiciel; ponadto (b) na pewno tygrys nie uciekł (nie przedostał się przez ogrodzenia), bo w przeciwnym razie byłby alarm. Ergo tygrys jest w swej zagrodzie! Matematyczne rzecz ujmując mamy do czynienia z następującą sytuacją: należy rozwiązać (lub raczej stwierdzić istnienie rozwiązań) równania postaci f(x,t) = 0 zależnego od parametru t z odcinka [0,T], interpretowanego jako czas. Możemy wyobrażać sobie, że zbiór otwarty U jest terenem, na którym żyje tygrys; dla x ze zbioru U równość f(x,t) = 0 zachodzi, gdy tygrys w czasie t znajduje się w punkcie x. Powyżej założyliśmy, że (a) rozwiązanie równania f(x,0) = 0 istnieje (t = 0 jest owym porankiem, kiedy karmiciel widział tygrysa) oraz, że żadne rozwiązanie, tzn. miejsce pobytu tygrysa, nie znalazło się na brzegu zbioru U, tzn. na ogrodzeniu terenu. Oznacza to, że tygrys nie przedostał się przez ogrodzenie. To pozwoliło na wniosek, że równanie f(x,T) = 0 ma rozwiązanie, gdzie czas T interpretujemy jako godz. 12:00. Istnieje zatem punkt x w zbiorze U, w którym tygrys się znajduje. Takie rozumowanie opiera się na założeniu (a) o rozwiązalności równania f(x,0) = 0 i (b) o tzw. oszacowaniach a priori możliwych rozwiązania równań f(x,t) = 0, gdy t przebiega odcinek [0,T], tzn. wszystkie rozwiązania, czyli punkty pobytu tygrysa w czasie t z odcinka [0,T] położone są w zbiorze U. Dowód twierdzenia, które orzeka o skuteczności opisanej metody, o ile f jest przekształceniem Leraya-Schaudera opiera się na rozważaniu pewnego niezmiennika homotopijnego (a zatem całkowito-liczbowej charakterystyki przekształcenia, która nie zmienia się podczas ciągłych deformacji), zwanego dziś stopniem topologicznym Leray-Schaudera. Stopień Leray-Schaudera jest nieskończenie-wymiarowym wariantem stopnia topologicznego Brouwera. Omawiana metoda topologiczna jest obecnie powszechnie wykorzystywana jako narzędzie służące do istnienia rozwiązań równań, badania ich własności jakościowych, a także problemów występujących w obliczeniach numerycznych. Za odkrycie metody kontynuacji Schauder wraz z Lerayem nagrodzeni byli w 1938 roku wielką nagrodę międzynarodową Prix Malaxa.

Należy podkreślić, że do odkryć z topologii przestrzeni Banacha nie doprowadziły Schaudera badania abstrakcyjne, ale raczej konkretne problemy i konieczność zastosowań w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Dlatego też w swych kolejnych pracach inne zagadnienia przykuły jego uwagę, mianowicie równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu typu eliptycznego i hiperbolicznego, a także równania całkowe. Również w tych, pozornie odległych od topologii, dziedzinach z powodzeniem stosuje twierdzenia topologiczne, uzyskując niezwykle ważne i interesujące wyniki. Jedno z podejść Schaudera można w wielkim skrócie opisać następująco: rozwiązania rozważanych równań są najczęściej punktami stałymi pewnych stowarzyszonych z nimi operatorów całkowych, co wraz z ich zwartością i obecnością tzw. oszacowań a priori (dziś często nazywanych oszacowaniami Schaudera), tzn. możliwością oszacowania ,,wielkości'' rozwiązań bez ich znajomości, pozwala na stwierdzenie istnienia rozwiązań poprzez zastosowanie twierdzenia o punkcie stałym lub metody kontynuacji. Drugie podejście, zwane dziś metodą linearyzacji lub metodą zamrażania współczynników dotyczy istnienia rozwiązań równań cząstkowych o współczynnikach zależnych od niewiadomych funkcji.

Pobieżnie omówione, wybrane wyniki dorobku badawczego Juliusza Schaudera świadczą o jego geniuszu i, pomimo upływu niemal stu lat, o niezwykłej żywotności i aktualności jego pomysłów i dokonań. Nie sposób wymienić wyników otrzymywanych przez współczesnych matematyków, które bazują i czerpią z dziedzictwa naukowego pozostawionego przez Schaudera.

Aby uczcić postać tego wybitnego matematyka, jego dokonania badawcze i dziedzictwo naukowe, w 1991 roku powołano przy Uniwersytecie Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersyteckie Centrum Badań Nieliniowych im. J. P. Schaudera. Zadaniem Centrum jest podejmowanie działań mających na celu wspieranie badań naukowych w zakresie analizy nieliniowej, badań zarówno teoretycznych, jak i aplikacyjnych, inspirowanie kontaktów naukowych z ośrodkami krajowymi i zagranicznymi podejmującymi studia w zakresie analizy nieliniowej oraz wydawanie czasopisma Topological Methods in Nonlinear Analysis, które publikuje przede wszystkim prace poświęcone metodom topologicznym zapoczątkowanym przez Juliusza Schaudera. Od 2012 roku Centrum Schaudera w Toruniu nadaje Medal im. J. P. Schaudera za osiągnięcia naukowe i wkład w analizę nieliniową. Laureatami medalu byli: Jean Mawhin (2012), Paul Rabinowitz (2014), Edward Norman Dancer (2017) i Susanna Terracini (2020). W roku 2020 Centrum Schaudera ufundowało również Nagrodę im. J. P. Schaudera dla Młodych Matematyków.

Publikacje naukowe J. P. Schaudera

• (1926) The theory of surface measure, Fund. Math. 8, pp. 1–48.
• (1927a) Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems, Math. Zeit. 28, pp. 317-320.
• (1927b) Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen, Math. Z. 26, pp.47–65 i 417–431.
• (1927c) Bemerkungen zu meiner Arbeit "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen", Math. Zeit. 26, pp. 417-431.
• (1928a) Über die stetige Abbildungen, Fund. Math. 12, str. 46. 74.
• (1928b) Über die Umkehrung eines Satzes aus der Variationsrechnung, Acta Litter. ac Scient. Szeged 4, pp. 38-50.
• (1929a) Über die Halbstetigkeit des Fliichenmasses, Fund. Math. 13, pp. 269-276.
• (1929b) Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math. 1, pp. 123–139.
• (1930a) Über die Umkehrung linearer stetiger Funktionaloperationen, Studia Math.2, pp. 1–8.
• (1930b) Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2, pp. 171–180.
• (1930c) Über lineare vollstetige Funktionaloperationen, Stud. Math. 2, pp. 185-196.
• (1931) Potentialtheoretische Untersuchungen, Math. Zeit. 33, pp. 602- 640.
• (1932a) Bemerkung zu meiner Arbeit "Potentialtheoretische Untersuchungen" I (Anhang), Math. Zeit. 35, pp.536-538.
• (1932a) Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Math. Ann. 106, pp. 661–721.
• (1932b) Sur le probléme de Dirichlet généralisé pour les équations non linéaires du type elliptique, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 195, pp. 201–203.
• (1932c) Sur les equations aux derivees partielles du type elliptique, C. R. Ac. Sc. Paris 195, pp. 1365-1367.
• (1933)] Sur les equations aux derivees partielles du type elliptique, C. R. Ac. Sc. Paris 196, pp. 89-90.
• (1933) Über das Dirichletsche Problem im Grossen für nicht-lineare elliptische Differentialgleichungen, Math. Z. 37, pp. 623–634.
• (1934a) Sur les équations linéaires du type elliptique à coefficients continus, C.R.Math. Acad. Sci. Paris 199, pp. 1366–1368.
• (1934b) Topologie et eqtations fonctionnelles, C. R. Ac. Sc. Paris 197 (1933), str. 115-117.
• (1934c)] Topologie et equations fonctionnelles, Ann. de l'École Norm. Sup., S III, 51 (1934), str. 45-78.
• (1935a) Das Anfangswertproblem einer quasilinearen hyperbolischen Differential-gleichung zweiter Ordnung in beliebiger Anzahl von unabhängigen Veränderlichen, Fund. Math. 24, pp. 213–246.
• (1934e) Sur les équations quasilinéares du type elliptique é coefficients continus,C. R. Math. Acad. Sci. Paris 199, pp. 1566–1568.
• (1934b) Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math.Z.38, pp. 257–282.
• (1935b) Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen, Studia Math. 5, pp. 34–42.
• (1936) Quasilineare Differentialgleichungen Gemischte Bandwertaufgabe, Stud. Math. 6 (1936), str. 162-189.
• (1936a) Gemischte Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus, Studia Math. 6, pp. 190–198.
• (1936b) Équations du type elliptique, problémes linéaires, Enseign. Math. 35, pp.126–139.
• (1936c) Nichtlineare partielle Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus, Congrès Int. Math. Oslo, pp. 60–61.
• (1936d) Über ein Prinzip in der Variationsrechnung, Congres In t. des Mat. Oslo l ( 1936).
• (1936d) Einige Anwendungen der Topologie der Funktionalräume, Matematič eskij Sbornik 1 (43), pp. 747–753.
• (1937) Cauchysches Problem für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Anwendung einiger sich auf die Absolutbeträge der Lö sungen beziehenden Abschätzungen, Comment. Math. Helv. 9, pp. 263–287.

Biografia

Juliusz Paweł Schauder urodził się 21 września 1899 roku w rodzinie lwowskiego prawnika pochodzenia żydowskiego. Miał dwóch młodszych braci: Mariana (w powojennych latach nauczyciela fizyki we Włoszech) i Karola (studiował prawo) oraz siostrę Annę. Ojciec Juliusza, Samuel Schauder, był wziętym adwokatem i teoretykiem prawa, publikującym w czasopismach prawniczych; matka nie pracowała zawodowo. Dzieciństwo Juliusz spędził częściowo w Rohatyniu, mieście koło Lwowa, gdzie mieszkała jego rodzina, ojciec prowadził praktykę adwokacką, a on uczęszczał do szkoły podstawowej.

Po ukończeniu w 1917 roku lwowskiego gimnazjum został zmobilizowany do armii austriackiej (należy pamiętać, że Galicja była częścią Monarchii Austro-Węgierskiej). Brał udział w walkach I wojny światowej na froncie włoskim, gdzie dostał się do niewoli. W 1918 roku wstąpił do organizowanej we Francji armii gen. Hallera. W 1919 wrócił wraz z armią Hallera do Polski i Galicji ogarniętej wojną z Ukrainą i wziął udział w walkach o oblężony przez Ukraińska Armię Halicką Lwów.

Po demobilizacji w 1919 roku Juliusz Schauder podjął studia matematyczno-fizyczne na Wydziale Filozoficznym Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie. Jego nauczycielami byli Hugo Steinhaus, Stefan Banach, Stanisław Ruziewicz i inni, a kolegami Stanisław Mazur, Marek Kac, Władysław Orlicz i Stanisław Ulam i wiele innych późniejszych znakomitości naukowych. Studia ukończył po czterech latach obroną doktoratu p.t. Teoria miary powierzchniowej, m.in. o teorii pomiaru powierzchni Ziemi, pod opieką Steinhausa. W tym okresie zmarł jego ojciec Samuel, co zmusiło Juliusza do utrzymywania rodziny i do podjęcia pracy jako nauczyciel gimnazjalny w małym miasteczku Przemyślany, w pobliżu Lwowa, a także jako agent ubezpieczeniowy. Jednak nadal kontynuował pracę naukową na styku matematyki i geografii i brał udział w seminarium Steinhausa. W roku 1927 opublikował pracę Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen, będącą podstawą habilitacji w 1928 roku, dzięki której otrzymał venia legendi, czyli prawo do prowadzenia wykładów nadane przez Radę Wydziału Filozoficznego UJK we Lwowie. W okresie 1928-29 wykładał na Uniwersytecie (m.in. równania różniczkowe cząstkowe), co niestety nie było związane z żadnymi dochodami. Za namową przyjaciół podjął ponownie pracę agenta ubezpieczeniowego we włoskiej agencji Riunione Adriatica di Sicurta. W swych staraniach o stałą posadę na Uniwersytecie lub na Politechnice Lwowskiej był on niestety ofiarą panującego na uczelniach antysemityzmu i swego rodzaju numerus clausus w stosunku do wykładowców. Mimo życzliwości Hugona Steinhausa (również pochodzenia żydowskiego) oraz Stefana Banacha, Schauder nie mógł uzyskać profesury. Później, w 1929 roku, został wykładowcą w V Gimnazjum im. St. Żółkiewskiego we Lwowie, a także na krótko podjął asystenturę na Uniwersytecie, w zastępstwie urlopowanego kolegi. Jego sytuacja materialna poprawiła się nieco i w 1929 roku ożenił się z panną Emilią Löwenthal, również absolwentką matematyki na UJK.

W 1932 roku otrzymał stypendium naukowe Fundacji Rockefellera, dzięki któremu w okresie od września 1932 roku do maja 1933 roku mógł prowadzić swoje badania w Lipsku we współpracy z Leonem Lichtensteinem, a potem w Paryżu, gdzie spotkał J. Hadamarda i J. Leraya (pierwotnie Schauder zamierzał udać się do Getyngi, lecz z racji na przejęcie władzy przez nazistów, zmienił plany). To właśnie we współpracy z Jeanem Lerayem w 1934 powstała słynna praca opublikowana w Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, dotycząca zastosowań topologii i teorii przestrzeni Banacha do równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych. Praca ta stanowi jedno z najważniejszych osiągnięć polskiej szkoły matematycznej. Wartość i doniosłość tej pracy doceniono w 1938 roku, gdy Juliusz Schauder otrzymał (wspólnie z J. Lerayem) międzynarodową nagrodę Grand Prix Internationaux de Mathématiques Malaxa (Nicolae Malaxa był rumuńskim biznesmenem i w tym czasie jednym z najbogatszych ludzi w Rumunii. O kulisach tej nagrody pisze bardzo interesująco J. Mawhin w artykule [5]).

Schauder wrócił do Polski w 1935 roku i podjął pracę nauczyciela matematyki w Gimnazjum im. St. Batorego we Lwowie. Otrzymał też pracę starszego asystenta na Uniwersytecie. W tym też roku wziął udział w konferencji w Genewie poświęconej równaniom różniczkowym, podczas której spotkał m.in. H. Hopfa z ETH, i w I Międzynarodowej Konferencji Topologicznej Moskwie. W 1936 roku uczestniczył w Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Oslo, gdzie wspólnie ze Stanisławem Mazurem wygłosił słynny (nieopublikowany) referat Über ein Prinzip in der Variationsrechnung. Ostatnia praca Schaudera wydana drukiem ukazała się w 1937 roku. W tym samym czasie podjął nieukończone sukcesem starania o zaproszenie na Uniwersytet w Princeton.

We wrześniu 1939 roku Armia Czerwona zajęła Lwów, a władzę przejęła administracja Ukraińskiej Republiki Radzieckiej. Dopiero wtedy Schauder otrzymał stanowisko profesorskie i katedrę na Wydziale Matematyczno-Fizycznym Uniwersytetu Lwowskiego (przemianowanego na Państwowy Uniwersytet im. Ivana Franka), którego dziekanem został Stefan Banach (sytuacja polityczna i losy polskich matematyków w tym czasie są dobrze opisane w [6]). Został też członkiem Ukraińskiej Akademii Nauk. Był m.in. wykładowcą mechaniki teoretycznej i analizy. W tym okresie zorganizował aktywne seminarium poświęcone grupom topologicznym. Dwa lata później w lipcu 1941 roku do Lwowa wkroczyli Niemcy. Uniwersytet został natychmiast zamknięty, a wielu profesorów uwięziono, a następnie zamordowano. Rozpoczęła się systematyczna eksterminacja Żydów. Jednak części osób pochodzenia żydowskiego udało się ukrywać pomiędzy ludnością polską, mimo ogromnego zagrożenia; getto oraz obozy zagłady zostały zorganizowane w Lwowie nieco później. Schauder wraz z żoną Emilią i córką Ewą (urodzoną w 19 stycznia 1938 roku) ukrywali się początkowo w Drohobyczu, skąd pochodziła Emilia Schauderowa, potem z początkiem 1943 roku wrócili do Lwowa. We wspomnieniach kilku lwowskich uczonych, m.in. Stefana Banacha, pojawia się postać Juliusza Schaudera, który mimo przeciwności i życia w ukryciu próbował nadal prowadzić badania naukowe, m.in. ze Stanisławem Mazurem. W 1942 roku Schauder przekazał przez jednego ze studentów-uciekinierów list z prośbą o pomoc, adresowany do matematyków szwajcarskich, których poznał podczas pobytu w Genewie, m.in. topologa Heinza Hopfa. Wspominał w nim o swych badaniach, o osiągniętych wynikach i niemożności ich spisania z powodu braku papieru. Prosił też o kontakt z Wernerem Heisenbergiem, którego poznał w Lipsku w 1933 roku i o jego interwencję u władz niemieckich. Szwajcarski fizyk Paul Scherrer napisał do Heisenberga w tej sprawie, lecz niestety jego list nie doczekał się reakcji. Nadzieje Schaudera spełzły na niczym. Według licznych relacji rodzinie Schauderów udzielali pomocy koledzy matematycy i filozofowie tak we Lwowie, jak i w Warszawie.

Ukrywając się po aryjskiej stronie, Schauderowie rozdzielili się: on mieszkał osobno, a żona z córeczką osobno. Matka z córką jakiś czas spędziły w kanale, po czym dziewczynka trafiła do szpitala. Matka umieściła ją z fałszywą metryką na nazwisko ‘Szałdrowska’ w lwowskim klasztorze franciszkanek Rodziny Maryi, które przewiozły ją do Warszawy, gdzie udała się także matka, by czuwać z oddali nad dzieckiem. Schauder próbował do nich dołączyć. Dzięki pomocy przyjaciół z tajnej młodzieżówki PPS (w tym Romana Ingardena jra., po wojnie profesora fizyki na UMK w Toruniu, i innych) udało się ,,zorganizować'' dla niego fałszywe dokumenty i bilet na pociąg do Warszawy. Jednak w przededniu ucieczki Schauder chciał wziąć kąpiel. W mieszkaniu, w którym się ukrywał nie było łazienki, udał się więc do małej wytwórni sprzętu optycznego, w której pracował R. Ingarden, gdzie była możność kąpieli. Po drodze został zatrzymany przez patrol niemiecki i aresztowany. Parę dni później, pod koniec września 1943, podczas transportu ujętych Żydów do obozu, próbował uciec i został zastrzelony przez Gestapo w okolicy dworca Kleparowskiego. Dokładna data jego śmierci nie jest znana.

Losy rodziny Juliusza Schauder były również tragiczne. Dzięki badaniom prof. Magdaleny Smoczyńskiej [10] wiadomo, że Emilia Schauderowa zamieszała w Warszawie najpierw w mieszkaniu żony Alfreda Tarskiego (słynnego logika, który w przeddzień wybuchu wojny wyjechał do USA) Marii, a potem w mieszkaniu znalezionym przez matematyków warszawskich. Pomagał jej profesor Kotarbiński. Nie wytrzymała jednak presji psychicznej i trudnych warunków, sama ujawniła się Niemcom i została zesłana do obozu koncentracyjnego w Majdanku pod Lublinem, gdzie zmarła (wg innej wersji została aresztowana i rozstrzelana). Córka Schaudera Ewa przeżyła u zakonnic najpierw w Warszawie, a po powstaniu pod Warszawą, gdzie ciężko zachorowała na gruźlicę. Po wojnie trafiła stamtąd do żydowskiego sierocińca w Otwocku. Stamtąd, została wysłana do żydowskiego leczniczego domu dziecka w Zakopanem, gdzie w jesieni 1945 roku przeżyła wraz z innymi sierotami zbrojny atak nacjonalistycznych bojówek antysemickich z kręgu „Ognia”. Obdarzona niezwykłą inteligencją ośmioletnia dziewczynka udzieliła swojej wychowawczyni Lenie Küchler-Silberman szczegółowej relacji na temat losów swojej rodziny, która została opublikowana w 1948 roku. ( Lena Küchler-Silberman (1910-1987), urodzona w Wieliczce psycholożka, nauczycielka oraz pisarka, po zakończeniu wojny zaopiekowała się w Zakopanem grupą ponad 100 dzieci żydowskich ocalałych z Holocaustu, razem z którymi wyemigrowała przez Francję do Izraela w roku 1948 roku). Po atakach zbrojnych Lena Küchler potajemnie wywiozła cały swój sierociniec, w tym Ewę, do Francji, do Meudon pod Paryżem. Tam Ewę poddano hospitalizacji m.in. dzięki wstawiennictwu J. Leraya, któremu po intensywnych staraniach udało się ją odnaleźć. Większość kosztów długotrwałego, lecz niestety nie w pełni skutecznego leczenia, pokrył amerykański filantrop Morris Zale. W 1947 roku Ewa (Eva) Schauder wyjechała do Włoch, do Pizy do swego stryja Mariana, który przyjął ją na wychowanie razem z trójką własnych synów. Po maturze w Pizie i studiach filologicznych w Genui pracowała jako nauczycielka w Genui i Mediolanie. Dwukrotnie zamężna, nie miała dzieci. Nigdy nie pokonała wieloletniej traumy z okresu dzieciństwa, ani nie odzyskała zdrowia fizycznego. Dnia 22 lutego 1991 roku odebrała sobie życie. Spoczęła na cmentarzu żydowskim w Mediolanie.

Bibliografia

Podczas opracowania niniejszej noty korzystałem z następujących źródeł:

1. R. S. Ingarden, Juliusz Schauder – Personal reminiscences, Topological Meth. Nonlinear Anal. 2 (1993), 1–14.
2. W. Forster, Schauder, Juliusz Pawel, https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/schauder-juliusz-pawel
3. J. Leray, O twórczości Juliusza Pawła Schaudera, Roczniki PTM, Seria II: Wiadomości Mat. III (1959), 13 -19.
4. J. Mawhin, Juliusz Schauder, topology of function spaces and partial differential equations, Wiadomości Mat. 48 (2012), 173–183.
5. J. Mawhin, A tribute to Juliusz Schauder, Antiquitates Math. Vol. 12(1) 2018, p. 229–257.
6. L. Maligranda, J. G. Prytuła, Przesłuchania Stefana Banacha z 1944 roku, Wiadomości. Mat. 48 (1) 2012, 51–72.
7. J. J. O'Connor and E. F. Robertson, Julius Pawel Schauder, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schauder/
8. W. Orlicz, Juliusz Pawel Schauder, Oeuvres de Schauder, 1978, 9–10.
9. H. M. Schaerf, My memories of Juliusz Schauder, Topological Meth. Nonlinear Anal. 2 (1993), 15–19.
10. M. Smoczyńska, Referat na Konferencji Symposium on Nonlinear Analysis, Toruń 2015.
11. Wikipedia, Juliusz Paweł Schauder, https://pl.wikipedia.org/wiki/Juliusz_Pawe%C5%82_Schauder}